ЗАДАЧІ

ПІДВИЩЕНОЇ

СКЛАДНОСТІ

(5-6 клас)

 

 

 

 

                                                                                                    Підготувала: Маковецька К.І.

 

 

1. До якого числа досить приписати справа 36, щоб від цього дане число          збільшилось у 103 рази?

Розв'язання. Якщо шукане число дорівнює а, то приписавши до нього справа 36, матимемо число а • 100 + 36. За умовою ця сума в 103 рази більша за а. Маємо рівняння 100а + 36 = 103а. Звідси а = 12.

2. Чи при кожному натуральному значенні n число 10^n+17 ділиться на 9?

Розв'язання. Так. Бо сума цифр даного числа дорівнює 9.

3. Заповніть порожні клітинки стрічки, зображеної на малюнку 1 так, щоб сума чисел у кожних трьох сусідніх клітинках дорівнювала 10.

Розв'язання.

-5

7

Якщо у перших двох клітинках написати числа х і у, то далі числа х, у і -5 мають періодично повторюва­тися. Отже,

у = 7, х =8.

Тобто

8

7

-5

8

7

-5

8

7

-5

8

7

-5

 

4. До числа 10 припишіть зліва і справа по одній цифрі так, щоб утворене чотирицифрове число ділилося на 72.

Розв'язання. Оскільки число х10у має ділитися на 72, то воно має ділитися також на 4 і на 9. Тому у дорівнює 0, 4 або 8, а утворене число має вигляд  х100, х104 або х108. Умову задачі задовольняє тільки число 4104.

 

5. Знайдіть двоцифрове число, сума цифр якого дорівнює 14 і яке на 36 більше від числа, записаного тими самими цифрами у зворотному порядку.

Перший спосіб. Оскільки сума цифр дорівнює 14, то цифра­ми шуканого числа можуть бути тільки: 7 і 7, 8 і 6 або 9 і 5. Пе­ревірка показує, що задачу задовольняє тільки число 95.

Другий спосіб. Якщо дане число 10х + у, то х+ у = 14 і х-у= 4.

  6. Батькові стільки років, скільки дочці та синові разом. Син удвоє старший за дочку і   на 20 років молодший за батька. Скільки років кожному?

  Розв'язання. Оскільки батькові стільки років, скільки дочці і синові разом, і син

   на 20 років молодший за батька, то дочці 20 років. Тоді синові 40, а батькові 60     років.

 

  7. Перший рибалка дав для спільного обіду 2 окуні, другий - одного окуня,

  а третій -   6 грн. Як мали поділити між собою гроші два перші рибалки?

 Розв'язання. Разом 3 рибалки з'їли 3 окуні, кожен - одного окуня. Тому всі 6 грн. третій рибалка мав віддати першому.

 

8. Скільки зайців та качок убив мисливець, якщо в кошику, куди він їх поклав, було 10 голів і 28 ніг?

  Розв'язання. Коли б у кошику всі 10 голів були качиними, то там було б усього 20     ніг.   Оскільки насправді ніг було на 8 (на 4 пари) більше, то зайців було 4. Тоді качок  було  10 - 4 = 6.

  9. Швидкість сокола більша від швидкості чайки на 75 км/год. Чайка літає швидше від  стрижа в 1,5 рази. Знайдіть швидкість сокола, якщо вона більша від швидкості         стрижа   в 2 рази.

Розв'язання. Нехай х км/год- швидкість стрижа, тоді 1,5хкм/год - швидкість чайки, 2х км/год - швидкість сокола.

Отже, 2х - 1,5х = 75, звідси х =150 (км/год).

Відповідь. Швидкість сокола 300 км/год.

10.Пасажир прийшов на вокзал за 5 хв до відходу електрички. Якби відстань до вокзалу була на 1 км більшою, то, йдучи з такою самою швидкістю, він запізнився б на 5 хв. З якою швидкістю йшов пасажир?

Розв'язання. Відстань 1 км пасажир пройшов би за 10 хв, бо  5 хв + 5 хв = 10 хв. Тому йшов він зі швидкістю

0,1 км/хв.

   Відповідь. 0,1 км/хв

  11. З пункту А в пункт В зв'язківець приніс пакет за 35 хв. Повертаючись в А, він         збільшив швидкість на 0,6 км/год, тому затратив на дорогу 30 хв.

  Чому дорівнює     відстань між пункта ми А та В?

  Перший спосіб. Нехай від А до В зв'язківець ішов зі швидкістю V м/хв, а назад - зі         швидкістю (V + 10) м/хв, оскільки 0,6 км/год = 10 м/хв. Маємо рівняння

  35 V =30(V +10), звідси V = 60. Отже, АВ = 60 м/хв • 35 хв = 2100 м = 2,1 км.

   Другий спосіб. Якщо АВ = х, то х : 30 - х : 35 = 10. Звідси х = 2100 (м).

 

12. Електричка пройшла повз мене за 5с, а повз платформу завдовжки 150 м - за 15 с. З якою швидкістю їхала електричка?

Розв'язання. Відстань, яка дорівнює довжині електрички, вона здолала за 5 с. А відстань 150 м - за 10 с, оскільки 15 с - 5с = 10 с. Отже, електричка їхала зі швидкістю 150:10= 15 (м/с).

 

13. Через 2 роки хлопчик буде вдвоє старшим, ніж був 2 роки тому. А дівчинка через 3 роки буде в 3 рази старшою, ніж була 3 роки тому. Хто з них старший?

Розв'язання. Якщо тепер хлопчикові х років, то 2 роки тому йому було х - 2 роки, а через 2 роки буде х + 2. Тому х +2 =2(х- 2), звідси х = 6 (років).

Якщо дівчинці тепер у років, то 3 роки тому їй було у - 3, а че­рез 3 роки буде у + 3.

Тому у + 3 = 3(у - 3), звідси у = 6 (років).

   Відповідь. Хлопчик і дівчинка мають по 6 років

   13. Маса повної каністри з водою дорівнює 23 кг, а заповненої наполовину - 12,5 кг.    Яка маса порожньої каністри?

Розв'язання. Коли б дві такі каністри були до половини за­повнені водою, то їх загальна маса дорівнювала б 12,5 кг * 2 = = 25 кг. Різниця 25 кг - 23 кг відповідає масі порожньої каністри.

Відповідь. 2 кг.

14. 20 туристів - чоловіки, жінки та діти - разом несли вантаж 200 кг. Скільки серед них було дітей, якщо кожен чоловік ніс 20 кг, кожна жінка - 5 кг, а кожна дитина - 3 кг?

Розв'язання. Нехай було х чоловіків, у жінок і п дітей. Тоді 20х + 5у + 3п = 200. Число п має ділитися на 5. Якщо п = 5, то 4х + у= 37 і х + у = 15, таких натуральних значень х і у не існує. Якщо п = 10, то

  4х + у = 34 і х + у = 10. Звідси х = 8, у = 2. Якщо п =15,      то рівняння 4x+у = 155 і х + у = 5 не задовольняє жодна пара натуральних чисел. Дітей було 10.

      15. Одне з двох чисел закінчується нулем. Якщо цей нуль закреслити, то вийде друге число. Знайдіть ці числа, якщо їх сума дорівнює 924.

Розв'язання. Нехай друге число дорівнює n, тоді перше - 10n. Їх сума 11 n = 924, звідси n = 84.

Відповідь. 840 і 84.

16. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9 розмістіть у кругах (див. мал.1) так, щоб сума чисел на кожній стороні дорівнювала 17.

Розв'язання. Якщо кожне число, вписане при вершині трикутника рахувати двічі, то сума трьох четвірок чисел дорівнювала б 17*3 = 51. Це - на 6 більше від суми всіх даних чисел. Отже, у вершинах трикутника слід написати такі числа, сума яких дорівнює 6, тобто 1, 2 і 3. Закінчити розв'язання неважко випробуванням. Відповідь можна подати, як на малюнку 1. Пари чисел між вершинами трикутника можна переставляти, а всю фігуру повертати.

 

   17. Зібрали 100 кг грибів, вологість яких дорівнювала 99 %. Коли гриби підсушили,      вологість їх зменшилася до 98 %. Якою стала маса цих грибів після підсушування?

Розв'язання. Якщо вологість грибів спочатку дорівнювала 99 %, то в 100 кг було 99 кг води і 1 кг безводної грибної маси. Якщо після просушування грибів їх загальна маса дорівнювала х кг, а безводна маса становила 2 % від загальної маси, тобто 1 : х = 0,02, то х=1 : 0,02,  х = 50 (кг)

18. З 9 монет одна фальшива (легша за інші). Як виявити фальшиву монету двома зважуваннями на терезах із двома шальками?

Розв'язання. Треба всі 9 монет порівну розкласти на 3 купки. Якщо якась із двох таких купок виявиться легшою, то фальшива монета - в ній Якщо ж вони - в рівновазі, то фаль­шива монета в третій купці. Так в результаті одного зважування, можна відкинути 6 монет. Далі зважуємо будь-які дві монети із залишених. Якщо якась із них легша - вона фальшива. Якщо дві ці монети врівноважуються, то фальшивою є третя.

19. Андрій, Борис, Віра і Ганна збирали гриби. Найбільше від усіх зібрала Ганна, Віра - не менше, ніж Борис. Чи правда, що дівчата зібрали грибів більше, ніж хлопці?

Розв'язання. Нехай вони зібрали А, Б, В і Г грибів.    Відповідно до умови задачі Г > А, а В≥ Б. Отже, Г + В > А + Б. 

  Відповідь. Правда.

20. Маса 4 найбільших коропів така сама, як і 3 найбільших сазанів. А маса одного коропа на 8 кг менша від маси одного сазана. Яка маса найбільшого сазана?

Розв’язання. Якщо маса коропа дорівнює х кг, то маса сазана х+8 кг. Маса 4 коропів 4х кг, а трьох сазанів 3(х+8)кг. Оскільки ці маси рівні, то 4х =3(х + 8), звідси х = 24(кг). Це маса коропа, а сазана - на 8 кг більша, тобто 32 кг.